整数之模
模乃对加减自封之一数集。若m及n皆在一模中，则\(m\pm n\)亦属此模。只有0之模谓之零模。
定理4.1.
1）任何模中必含有0；
2） 若\(a,b\)在模中，则\(am+bn\)亦然，\(m,n\)为任何整数。
定理4.2.
任与二整数\(a\mbox{及}b\)，则所有形如\(am+bn\)之整数成一模。
定理4.3.
任一非零之模，必为一正整数之倍数所成之集合。 （证明用反证法）
定义.(最大公因数)
命\(a,b\)为二整数。于定理3中形如\(am+bn\)所成之模，则此定理证明中所得之d名为a,b之i最大公因数，以(a,b)表之。
定理4.4.
(a,b)有如下性质：
(1) 有整数\(x,y\)，使\(( a+b)=ax+by\) ；
(2) 对任二整数\(x,y\)，必有\((a+b)\mid{ax+by}\)；
(3) 若\(e\mid{a},e\mid{b},\mbox{则}e\mid{(a,b)}\)。
定义.（互素）
若\((a,b)=1,\mbox{则}a,b\)谓之互素。
附言
求最大公因数的方法：
- 辗转韶相除法
- euclid计算
- 秦九转韶于数学九章（1247年）中亦论及。
例： 求取\(a=323, b=221\)之最大公因数。
由Euclid算法可得 \(323=221\times1+102\)。
故\(102\)在形如\(ax+by\)之整数模中。
又 \(221=102\times2+17\)，故17亦在模中。
因 \(102=17\times6\)，故17为该模之最小正整数，即\(17=(323,221)\)。
唯一分解定理
定理5.1.
若p为素数且\(p\mid{ab},\mbox{则}p\mid a,\mbox{或}p\mid b\)。
定理5.2
若\(c\gt 0,\mbox{及}(a,b)=d,\mbox{则}(ac,bc)=dc\)。
定理5.3
\(n\)之标准分解式是唯一的。换言之，若不计次序，则\(n\)仅能由唯一之方式表为素数之积。
习题1. 证明以下各数非有理数
\(log_{10}{2},\quad \sqrt{2}\)。
证明：反证法。
（1） 若\(log_{10}{2}\)为有理数，则可设\(log_{10}{2}=\frac{p}{q},p\gt0,q\gt0\)
\[10^{log_{10}{2}}=10^{\frac{p}{q}}\] \[2=10^{\frac{p}{q}}\] \[2^q=10^p,\mbox{即：}2^{q-p}=5^p\]显然，\(p=q=0\)与\(p,q\gt 0\)矛盾。假设不成立。
\(\therefore log_{10}{2}\)为无理数。 证毕。
（2） 若\(\sqrt{2}\)为有理数，则可设\(\sqrt{2}=\frac{p}{q},(p,q)=1\)，由此
\(2q^2=p^2, \mbox{则}\quad 2\mid p, \mbox{令}p=2k\)，
则\(q^2=2k^2,\mbox{即}2\mid q\)，由此
\((p,q)=2,\mbox{与原设}(p,q)=1\)矛盾，假设不成立。
\(\therefore \sqrt{2}\)为无理数。 证毕。
习题2.
若已知
\[log_{10}{\frac{1025}{1024}}=a, \quad log_{10}{\frac{1024^2}{1023\cdot1025}}=b,\] \[log_{10}{\frac{81^2}{80\cdot82}}=c,\quad log_10{\frac{125^2}{124\cdot126}}=d,\] \[log_{10}{\frac{99^2}{98\cdot100}}=e,\]则
\[196log_{10}{2}=59+5a+8b-3c-8d+4e\]并试用\(a,b,c,d,e\)表出\(log_{10}{3}\mbox{及}log_{10}{41}\)；再用此法以求\(log_{10}{2}\)至小数第10位，以说明此法在实际计算上有用处。
证明：
\[10^{196log_{10}{2}}=2^{196}\]\(\begin{align}&10^{59+5a+8b-3c-8d+4e}\\ &=10^{59}\times10^{5a}\times10^{8b}\div10^{3c}\div10^{8d}\times10^{4e}\\ &=10^{59}\times{\Big(\frac{1025}{1024}\Big)}^5\times{\Big(\frac{1024^2}{1023\cdot1025}\Big)}^8\\ &\div{\Big(\frac{81^2}{80\cdot82}\Big)}^3\div{\Big(\frac{125^2}{124\cdot126}\Big)}^8\times{\Big(\frac{99^2}{98\cdot100}\Big)}^4\\ &=\frac{10^{59}\times1025^5\times1024^{16}\times80^3\times82^3\times124^8\times126^8\times99^8}{1024^5\times1023^8\times1025^8\times81^6\times125^{16}\times98^4\times100^4}\\ &=\frac{2^{59}\cdot5^{59}\cdot5^{10}\cdot41^5\cdot2^{160}\cdot2^{12}\cdot5^3\cdot2^3\cdot41^3\cdot2^{16}\cdot31^8\cdot3^{16}\cdot2^8\cdot7^8\cdot3^{16}\cdot11^8}{2^{50}\cdot3^8\cdot31^8\cdot11^8\cdot5^{16}\cdot41^8\cdot3^{24}\cdot5^{48}\cdot2^4\cdot7^8\cdot2^8\cdot5^8}\\ &=2^{196} \end{align}\) 证毕。