第一章 整数之分解
第一节 整除性 知识要点
诸整数所成之集，对加、减、乘三种运算自封。
定理1. 任意二整数\(a\mbox{及}b(b>0)\)，必有二整数\(q\mbox{及}r\)使
\[a=qb+r,\quad\quad 0\leq r<b\]
\(r\mbox{名为以}b\mbox{除}a\)所得之最小剩余。
习题
第1题
若\(n\mbox{为正整数，证明}\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=[\alpha]\)。
方法一
证： \(\because [\alpha]\leq\alpha<[\alpha]+1\)， 且\(n\in\mathbb{N}\)，
则：\(n[\alpha]\leq n\alpha< n[\alpha]+n\)，
\([n[\alpha]]\leq[n\alpha]<[n[\alpha]+n]\)，
\(n[\alpha]\leq[n\alpha]< n[\alpha]+n\)，
\(\therefore [\alpha]\leq\frac{[n\alpha]}{n}< [\alpha]+1\)，
\(\therefore [\alpha]\leq\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]<[\alpha]+1\)，
由定义可知，
\(\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=[\alpha]\)。
证毕。
方法二
证： 设\([n\alpha]=nq+r, 0\leq r<n,\mbox{为整数}\)，那么
\(n\alpha=nq+r+<\alpha>\)，
\(\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=\Big[\frac{nq+r}{n}\Big]=\Big[q+\frac{r}{n}\Big]=[q]\)，
\([\alpha]=\Big[\frac{n\alpha}{n}\Big]=\Big[\frac{nq+r+<\alpha>}{n}\Big]=\Big[q+\frac{r+<\alpha>}{n}\Big]=q\)，
\(\therefore \Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=[\alpha]\)。
证毕。
方法三
证： 设\(\alpha=k+\frac{j}{n}+r,\quad 0\leq r<\frac{1}{n}, \quad 0\leq j<n,\quad j,k\in \mathbb{Z}\)，那么
\(\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=\Big[\frac{[nk+j+nr]}{n}\Big]=\Big[\frac{nk+j}{n}\Big]=\Big[k+\frac{j}{n}\Big]=k=[\alpha]\)。
证毕。
第2题
若\(n\mbox{为正整数，则}\)
\([\alpha]+[\alpha+\frac{1}{n}]+\cdots+[\alpha+\frac{n-1}{n}]=[n\alpha]\)。
证： 设\(\alpha=k+\frac{j}{n}+r, \mbox{其中}0\leq r<\frac{1}{n}, 0\leq j <n, k,j\in\mathbb{Z}\)，
\[\begin{align}\mbox{左式} &=\displaystyle\sum^{n-1-j}_{i=0}[k+\frac{j}{n}+r+\frac{i}{n}]+\displaystyle\sum^{n-1}_{i=n-j}[k+\frac{j}{n}+r+\frac{i}{n}]\\ &= (n-j)\times k+j\times(k+1)\\ &= n\times k+j\\ &= n\times(k+\frac{j}{n})\\ &= [n\alpha]\\ &= \mbox{右式}\end{align}\]证毕。
第3题
证明不等式\([2\alpha]+[2\beta]\geq[\alpha]+[\alpha+\beta]+[\beta]\)。
证：设\(\alpha=k_1+\frac{\sigma_1}{2}+r_1,\quad\beta=k_2+\frac{\sigma_2}{2}+r_2, \mbox{其中：}\\k_1,k_2,\sigma_1,\sigma_2\in{\mathbb{Z}},0\leq\sigma_1,\sigma_2\leq1,0\leq r_1,r_2<\frac{1}{2}\)
那么：
\[\begin{align}\mbox{左式}&=[2\times(k_1+\frac{\sigma_1}{2}+r_1)]+[2\times(k_2+\frac{\sigma_2}{2}+r_2)]\\ &=2k_1+\sigma_1+2k_2+\sigma_2\\ &=k_1+(k_1+\sigma_1+\sigma_2+k_2)+k_2\\ &\geq[\alpha]+[\alpha+\beta]+[\beta]\end{align}\]证毕！
本文共1822字。