问：\(123456\cdots787980\div88\)的余数？
析：
令\(x=123456\cdots787980\)，则：
\[x\div88=x\div8\div11\quad\tag{1}\] \[x(mod8)\equiv980(mod8)\equiv4(mod8)\quad\tag{2}\] \[\begin{multline} x(mod11)\equiv\mbox{两位一截断求余求和}(mod11)\\ \equiv10(mod11)\quad\tag{3} \end{multline}\]应用韩信点兵法求得最终余数76。
流程图
graph TD;
A[x]-->B[对8求余];
A-->C[对11求余];
B-->D[韩信点兵];
C-->D;
D-->E{76};
孙子定理（中国剩余定理）
设\(m_1,m_2,\cdots,m_k\mbox{是}k\)个两两互质的正整数，\(M=m_1m_2\cdots m_k,\quad M_i=\frac{M}{m_i}, i=1,2,\cdots k\)，则同余式组
\[\begin{cases}\begin{gather}x\equiv b_1(mod m_1)\\x\equiv b_2(mod m_2)\\ \cdots\\x\equiv b_k(mod m_k)\end{gather}\end{cases}\]的解是
\[x\equiv b_{1} M^{'}_{1}M_{1}+b_{2}M^{'}_{2}M_{2}+\cdots b_{k}M^{'}_{k}M_{k}(mod M)\]其中
\[M^{'}_{i}M_{i}\equiv 1(mod m_i),(i=1,2,\cdots k)\]解：
设\(x=123456\cdots787980\)
\[x\div88=x\div8\div11\] \[\because x(mod8)\equiv980(mod8)\equiv4(mod8)\\ \therefore x(mod8)\equiv4(mod8)\]又\(123456\cdots787980\)对11求余可用两位截断法，即从右向左划分\(1\|23\|45\|67\|89\|10\|11\|12\|\cdots\|78\|79\|80\)，分别除以11后各余数相加再对11求余
\[\begin{align}5\times1\\+6\times(10+0+1+2+3+\cdots+9)\\+(10+0+1+2+3)\\=351\end{align}\] \[351(mod11)\equiv10(mod11)\] \[\therefore x(mod11)\equiv10(mod11)\]由此，本题转化为求解同余式组 \(\begin{cases}\begin{gather}x\equiv4(mod8)\\x\equiv10(mod11)\end{gather}\end{cases}\)
套用孙子定理，
\[M=88, M_1=88\div8=11,M_2=88\div11=8,\\\mbox{此处是关键} M^{'}_1=3,M^{'}_2=7\] \[x\equiv4\times11\times3+10\times8\times7(mod88)\] \[x\equiv692(mod88)\equiv76(mod88)\]答：
余数为76。
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